Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão

Variância

Seja o conjunto de valores x₁, x₂, x₃, … , x_n e seja M_a a média aritmética desses valores. Sendo D_i o desvio médio do valor x_i, define-se a variância deste conjunto como sendo a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios médios.

Como o conjunto x₁, x₂, x₃, … , x_n possui n elementos, a variância v será calculada pela fórmula a seguir, decorrente da definição acima:

A fórmula acima pode parecer um pouquinho estranha. Caso necessário, visite o arquivo sobre somatórios.
Vamos dar um exemplo para desmistificá-la:
Seja o conjunto de  valores: 10, 12, 14, 16, 18, 20
A média aritmética destes valores será: M_a = (10+12+14+16+18+20)/ 6 = 90/6 = 15
Os desvios médios serão:
D₁ = 10 – 15 = -5
D₂ =  12 – 15 = -3
D₃ = 14 – 15 = -1
D₄ = 16 – 15 = 1
D₅ = 18 – 15 = 3
D₆ = 20 – 15 = 5
Então a variância V será igual a:

V = [(-5)² + (-3)² + (-1)² + 1² + 3² +5²] / 6 = 70 / 6 = 11,67

Desvio Padrão

Chama-se desvio padrão s de um conjunto de valores, à raiz quadrada da variância, ou seja, s = Öv. Assim, por exemplo, o desvio padrão do conjunto de valores dado no exemplo acima será igual à raiz quadrada de 11,67 , ou seja,
Ö11,67 = 3,42.
A fórmula para o cálculo do desvio padrão de um conjunto de valores x₁ , x₂, x₃, … , x_n de média aritmética M_a será dada por:

Notas:
a) s : símbolo para representar o desvio padrão; letra grega  sigma minúscula
b) S : símbolo para representar somatório ; letra grega sigma maiúscula.
c) se ocorrer x₁ = x₂ = x₃ = … = x_n , os desvios médios x_i – M_a serão nulos e, neste caso, o desvio padrão será nulo. Aliás, esta é a única forma do desvio padrão ser nulo.

Exemplo: calcule o desvio padrão da distribuição de freqüência a seguir:

Produto	Preço unitário (R$)
A	10,00
B	12,00
C	14,00
D	16,00

Inicialmente, calculamos a média aritmética dos dados:
M_a = (10 + 12 + 14 + 16) / 4 = 13, ou seja, a média aritmética dos preços é igual a R$13,00
Em seguida calculamos os desvios médios e os seus quadrados:
10 – 13 = -3 ? quadrado = (-3)² = 9
12 – 13 = -1 ? quadrado = (-1)² = 1
14 – 13 = +1 ? quadrado = (+1)² = 1
16 – 13 = + 3 ? quadrado = (+3)² = 9
Calculamos a variância:
v = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 5
O desvio padrão será igual então à raiz quadrada da variância ou seja:
s = Ö5 = 2,23 .
Nota: a unidade do desvio padrão é a mesma da média. Portanto, s = R$2,23.

Nota: quanto maior o desvio padrão, maior o grau de dispersão dos dados de um determinado conjunto de valores ou seja, quanto mais assimétricos os dados, maior o desvio padrão. Somente a título de exemplo ilustrativo, considere os casos simples abaixo:
a) valores 4 e 6: média aritmética = (4+6)/2 = 5 e desvio padrão = 1.
b) valores 4 e 10: média aritmética = (4+12)/2 = 8 e desvio padrão = 4.
Observe que os dados 4 e 6 são mais “homogêneos” que os dados 4 e 12 (maior assimetria no segundo caso) e o desvio padrão do segundo conjunto de valores é bem maior que o do primeiro.

Fonte:http://www.paulomarques.com.br/arq3-29.htm

Moda e Mediana

A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência centralde um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para “resumir”, em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.

Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.

A partir das medidas das alturas de um grupo de pessoas, é possível calcular uma altura que caracteriza o grupo todo.

Conhecendo as notas de um aluno durante um semestre da faculdade, é possível calcular uma nota que “resume” a sua situação no semestre.

Com base no número de gols de um time, em várias partidas de um campeonato, é possível chegar a um número de gols que descreva a sua situação no campeonato.

Observando os tempos de viagem de um determinado ônibus, em várias viagens, é possível se chegar a um valor que indica, em geral, o tempo dessa viagem.

Moda

Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.

Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.

Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.

As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Mediana

Mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.

Exemplos:

As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.

A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:

Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.

Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:

– os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;
– se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;
– se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor.

Fonte:http://educacao.uol.com.br/matematica/estatistica-moda-mediana.jhtm

Média Harmônica e Geométrica

Média Geométrica

Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:

Média harmônica
A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:

Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados:

Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média harmônica de 2, 6 e 8:

Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.

Link: http://www.infoescola.com/matematica/medias-aritmetica-geometrica-harmonica/

Médias Aritméticas e Ponderadas

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelonúmero de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Média ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu “peso”, isto é, sua importância relativa.

DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA:

A média aritmética ponderada _p de um conjunto de números x₁, x₂, x₃, …, x_n cuja importância relativa (“peso”) é respectivamente p₁, p₂, p₃, …, p_n é calculada da seguinte maneira:

_p = 

EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

_p =   

Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.

Link: http://www.somatematica.com.br/fundam/medias.php

Olá, Sejam bem-vindos ao novo desafio, o de descobrir de como se tornar fácil o uso da estatística, viajando nesse universo de números e gráficos de maneira simples e prática.

Definições de Estatística:

A estatística utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experimento modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.
Link: pt.wikipedia.org/wiki/Estatística

Uma estatística é uma função (qualquer) das variáveis observáveis que não contém qualquer parâmetro desconhecido.
Link: pt.wikipedia.org/wiki/Estatística_(função)

Estatístico é um profissional especialista em estatística. O termo estaticista, embora utilizado com relativa freqüência, é uma tradução equivocada da palavra inglesa statistician, e não deve ser empregado em nenhuma situação. …
Link: pt.wikipedia.org/wiki/Estatístico

Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas, além de obter conclusões a partir dessas informações.
Link: www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/e.php

Ocorrência aleatória de um acontecimento, que pode ser definido a priori, num determinado conjunto.
Link: portal.prefeitura.sp.gov.br/secretarias/seguranca_urbana/defesa_civil/terminologia/0001

É o método que ensina a recolher, classificar, apresentar e interpretar um conjunto de dados numéricos.
Link: www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/dicionario.htm

Parte da matemática que faz a coleta, análise e interpretação de dados referentes à população, economia, etc., para, a partir daí, tirar conclusões e fazer previsões.
Link: blig.ig.com.br/geografiaescolar/glossario-geografico/